월드컵 16강에 진출할 수 있을까?

월드컵이 열릴 때마다 우리나라가 16강에 진출할 수 있을지가 이슈였죠. 조별리그에서 모두 이겨 쉽게 16강에 진출하면 좋겠지만, 그렇지 않은 때가 더 많았어요.

그때마다 우리는 16강에 진출할 수 있는 '경우의 수'를 따지고, '확률'을 계산했지요.

2018년 월드컵 죽음의 조인 F조에 속한 우리나라는 스웨덴과 멕시코와의 경기에서 2패를 하며 독일과의 경기만 남겨둔 상황이었어요.우리나라가 16강에 진출하는 경우는 2가지가 있었어요.

① 독일을 한 골차 이상으로 이기고, 멕시코가 스웨덴을 두 골차 이상으로 이긴다.

② 독일과 여러 골을 주고 받으며 한 골차 이상으로 이기고, 멕시코가 스웨덴을 한 골차 이상으로 이겨 다득점으로 스웨덴을 따돌린다.

축구강국 독일을 이겨야 한다니 정말 확률이 낮아보이죠?ㅠㅠ

[김현회] 월드컵 ‘경우의 수’ 쉽게 이해하기 - 스포츠니어스[스포츠니어스 | 김현회 기자] 어김없이 경우의 수 시간이 찾아왔다. 신태용 감독이 이끄는 한국이 2018 러시아월드컵 F조 조별예선 마지막 경기를 앞두고 주판알을 튕겨야 될 상황에 놓였다. 생소하지만은 않다. 늘 월드컵에 나가면 있어 왔던 일이기 때문이다. 1994년 미국월드컵부터 경우의 수로 수학을 배웠던 나로서는 이제 네 팀이 따지는 경우의 수 정도는 암산으로도 가능하다. 내가 수학에서 집합 다음으로 잘하는 …

▶ 여기서 잠깐!! 2학기에 배웠던 확률의 의미를 살펴봅시다.

어떤 실험이나 관찰에서 각각의 경우가 일어날 가능성이 같다고 할 때,

일어날 수 있는 모든 경우의 수를 n,

어떤 사건 A가 일어나는 경우의 수를 a라고 하면,

사건 A가 일어날 확률 p는 다음과 같아요.

즉, 우리나라가 16강에 진출할 확률은

로 나타낼 수 있겠죠. 한국이 16강에 진출하는 경우의 수는 앞서 언급한 2가지가 되겠죠.

그런데 조금 이상하지 않나요? 분명 16강에 진출하기가 아주 어려운 상황처럼 보였는데 위의 식을 보면 확률이 높아보입니다. 무엇이 잘못 되었을까요?

▶ 확률의 뜻에서 살펴보았듯이 확률을 구하기 위해서는 경우의 수를 먼저 구해야 합니다. 경우의 수의 뜻을 먼저 살펴볼게요.

같은 조건에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의하여 나타나는 어떤 결과를 사건이라 하고 사건이 일어날 수 있는 경우의 가짓수를 경우의 수라고 해요.

▶ 앞서 살펴본 확률의 뜻도 다시 한번 써 볼게요.

어떤 실험이나 관찰에서 각각의 경우가 일어날 가능성이 같다고 할 때,

일어날 수 있는 모든 경우의 수를 n,

어떤 사건 A가 일어나는 경우의 수를 a라고 하면,

사건 A가 일어날 확률 p는 다음과 같아요.

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'생각톡톡'에서 보았듯이 수학 개념으로서의 경우의 수, 확률은 우리가 평소에 사용하는 것과는 조금 달라요.

더 엄밀하죠. 같은 조건에서 반복할 수 있어야(사건) 경우의 가짓수를 이야기 할 수 있고, 각각의 경우가 일어날 가능성이 같을 때만 확률을 이야기할 수 있어요.

▶ 예를 들어, 같은 조건에서 반복할 수 있는 주사위를 던지는 실험에서 '홀수의 눈이 나온다'는 사건의 경우의 수는 3이죠.

<출처 - 천재교육 수학 2 교과서>

▶ 그러면 주사위 한 개를 던질 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 이때 각 눈이 나올 가능성이 같으니까 홀수의 눈이 나올 확률은 3/6이 됩니다.

<출처 - GED 경진대회우수학습자료 '길 찾기 문제에 숨겨진 확률의 비밀 '>

각각의 경우가 일어날 가능성이 가능성이 같지 않을 때 구한 확률은 오류를 갖게 됩니다. 다음 문제와 그 풀이를 잘 보세요.

다음과 같은 길을 따라 A지점에서 C지점까지 최단거리로 가려고 한다. (단, 각각의 점에서 갈림길을 선택하는 확률은 동일하다.)

<출처 - GED 경진대회우수학습자료 '길 찾기 문제에 숨겨진 확률의 비밀 '>

[문제] 지점 B를 지나서 가게 될 확률은?

[풀이] A에서 C까지 가는 경우의 수가 10가지, A에서 B까지 가는 경우의 수가 4가지이므로 구하는 확률은

▶ 바르게 잘 푼 것처럼 보이지만, 안타깝게도 이 풀이와 답은 틀렸습니다. 왜 그럴까요? ∨표를 눌러 답을 확인하세요.

각각의 경우가 일어날 가능성이 같지 않기 때문입니다. 우리나라가 독일을 이길 가능성과 독일이 우리를 이길 가능성은 같지 않습니다. 이것을 동일하게 보고 각각 2가지로 보고 우리가 독일을 이길 확률이 50%라고 하는 것은 옳지 않죠. 다음 슬라이드를 넘기며 자세한 이유를 알아보세요.

길찾기문제

<그림 출처 - https://blog.naver.com/mslsj2000/220993765204

▶ '확률의 계산(합의 법칙, 곱의 법칙)'을 이용하여 길 찾기 문제를 바르게 풀어 봅시다.

<확률의 계산>

사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라고 하면

① 동일한 실험이나 관찰에서 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때,

(사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률) = p + q → 합의 법칙

② (사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률) = p × q → 곱의 법칙

각각의 경우가 일어날 가능성이 같아야만 수학적 확률을 구할 수 있다는 제한이 있긴 하지만, 그럼에도 불확실한 미래에 대한 예측을 수학으로 할 수 있다는 것이 놀랍지 않나요? 그렇다면 이러한 확률의 개념은 어떻게 생겨났고 발전되었을까요?

16세기 이전까지는 우연적 사건은 질서가 없다고 생각했기 때문에 우연과 불확실에 대한 학문적 연구가 이루어지지 않았어요. 16세기에 무역이 발달하면서 유럽의 지중해 연안 도시에는 기후 등의 이유로 출항을 하지 못 할때 무료함을 달래기 위해 도박이 성행했어요. 도박사들이 수학자들에게 게임에서 이길 확률을 묻기 시작하면서 확률의 학문적 연구가 급격히 발달하게 되었어요.