현재 나의 위치를 정확하게 나타낼 수 있는 방법이 있을까?

위치를 좀 더 정확하게?

"최강아~! 수학 사전 잘 빌려 썼어. 네 책상 위에 올려 둘까?"

"응~! 나 지금 선생님께 가 봐야 해서 내 책상 위에 올려 주면 좋겠어. 고마워. 내 책상 자리는 칠판 앞에서 세번째 줄이야."

친구 수학이가 앞 시간에 수학 사전이 필요하다고 해서 빌려줬고, 갖다 놓는다고 했는데 선생님께 다녀 와 보니 내 책상에는 수학 사전이 없는 게 아니겠어요?

분명 갖다 놓는다 했는데.... 한참을 교실전체를 돌아다니며 찾다보니 드디어 발견!!

아니 글쎄... 내 자리에서 저 멀리 떨어진 만세 자리에 있는 겁니다.

제가 헷갈릴까봐 칠판 앞에서 세번째 줄이라고 강조까지 했는데...

수학이가 잘 몰랐을 리는 없는데... 아뿔사.... 만세 자리도 칠판 앞에서 세번째네요.

그럼 제가 어떻게 설명했어야 했을까요?

위치를 정확하게 표현하는 것에서부터 변화를 표현할 수 있게 되기까지

친구들이나 부모님에게 현재 내 위치를 알려주거나, 친구들과의 약속 장소를 찾아가고 맛집을 찾아가는 데에 스마트폰 지도앱을 자주 씁니다.

그 모든게 GPS에 있는 좌표 기술 덕분이라는 거 알고 계신가요?

위치를 정확하게 표현하기 위해 등장했던 좌표에서부터 다양한 변화를 나타낼 수 있게 되기까지

간략하게 표현된 만화형태지만 찬찬히 읽어보며 여정을 함께 떠나가 볼까요?

[1] 순서쌍과 좌표

수직선 위의 점의 위치 - 한 개의 기준으로 표현이 가능

다음은 대구지하철 1호선 노선도입니다.

우리가 지하철 노선도에서 위치를 표현할 때, 한 통로의 길 밖에 없기 때문에 한 개의 기준으로 표현이 가능합니다.

예를 들어 동대구역은 (반월당)을 기준으로 (안심) 방향으로 5번째 역이라고 표현을 하면 정확한 위치를 표현한 셈이지요.

서부정류장은 (반월당)을 기준으로 (설화명곡) 방향으로 6번째 역이라고 표현 하면 되고요.

다음은 제주 올레길 4코스 지도입니다.

역시 한 길로만 연결되어 있어서 한 개의 기준으로 표현이 가능합니다.

예를 들어 망오름 정상은 (표선해비치해변)을 기준으로 (남원포구) 방향으로 11.8km 떨어진 곳에 위치해 있다고 표현할 수 있겠지요?

위의 두 가지 예를 보았듯이 한 가지 기준으로 표현할 때 반드시 언급해야 하는 것이 기준과 방향입니다.

이것은 수직선의 점위 위치를 나타내는 원리와 동일합니다.

수직선은 (원점)을 기준으로 (양)의 방향과 (음)의 방향이 존재하지요.

다음 [제주 올레길 여행으로 알아보는 수직선에서의 점의 좌표]를 통해 수직선에서 점의 위치를 표현하는 방법에 대해 공부해 봅시다.

★ 수직선 위의 두 점 P,Q의 좌표를 기호로 나타내 볼까요?

P(-1), Q(3/2) 입니다.

평면 위의 점의 위치 - 두 개의 기준으로 표현이 가능

그럼, 한 개의 기준으로 표현하면 정확하지 않은 것도 있나요?

그럼요. 우리가 살아가는 공간은 단순하지 않기 때문에 기준이 더 필요한 경우도 있습니다.

다음 영화관 좌석표를 한 번 볼까요?

코로나로 인해 영화관에 거의 갈 수는 없지만 곧 갈 수 있을 거라 기대하며 함께 살펴 봐요.

한 좌석의 이름을 붙일 때 G9, G10하는 형식으로 두 가지 기준으로 표현하고 있지요?

가로를 기준으로 한 선은 왼쪽에서 오른쪽으로 번호를 1번부터 차례대로 14번까지 표시하고 있습니다.

세로를 기준으로 한 선은 앞에서 뒤쪽으로 알파벳을 A부터 L까지 표시하고 있습니다.

다음 고속열차의 좌석 번호도 마찬가지입니다.

알파벳과 숫자! 두 가지 기준으로 표현하고 있습니다.

그림에서 체크된 표시의 좌석은 5B로 표현할 수 있겠지요?

다음 [지도상의 위치로 알아보는 평면 위에 있는 점의 위치]를 통해 평면 위의 점의 위치를 표현하는 방법에 대해 함께 공부해 봅시다.

★ 좌표평면 위에 나타낸 동물원의 약도가 있습니다.

각 동물의 위치를 나타낸 점의 좌표를 구해 보고,

어느 사분면에 속해 있는지 이야기해 볼까요?

코끼리(5,2)로 제1사분면에 속해 있습니다.

판다(2,-3)으로 제4사분면에 속해 있습니다.

원숭이(-3,-5)로 제3사분면에 속해 있습니다.

펭귄(-4,0)으로 어느 사분면에도 속해 있지 않습니다.

[2] 그래프와 그 해석

우리 친구들은 이미 초등학교 때부터 여러 과목에서 다양한 그래프로 나타난 자료를 직관적으로라도 해석해 본 경험이 있을 겁니다.

이 시간에는 그래프 자체를 이해하고 해석하는 것, 그래프를 이해하고 경향성을 파악하는 것에 초점을 두려고 합니다.

이제 우리가 좌표의 개념도 배웠기 때문에 직관적으로만 해석하지 않고, 그래프 위의 한 점을 따로 떼서 그 점의 위치를 좌표로 인식할 것입니다.

그래프라는 것을 대충 선으로 연결한 것이 아니라 의미를 가지는 점들의 모임으로 보는 눈을 갖게 되길 바랍니다.

표를 그래프로 나타내기

서로 함께 변하는 두 변수(여러가지로 변하는 값을 나타내는 문자) x,y의 순서쌍 (x,y)를 좌표로 하는 점 전체를 좌표평면 위에 나타낸 것을 그래프라고 합니다.

그래프는 의미하는 경우에 따라 몇 개의 점들만 있을 때도 있고, 그런 점들이 연속적으로 혹은 무수히 많이 모여 선으로 보일 때도 있겠지요?

다음 영상을 통해 그래프로 나타내는 방법에 대해 함께 살펴 봅시다.

그래프를 보고 해석하기

다양한 상황을 나타내는 그래프를 보면 몇 개의 점으로 나타나기도 하고 점들이 모여 연결된 선으로 나타나기도 합니다.

그 그래프를 이해하고 경향성을 파악하는 것이 필요하겠지요?

이 때, 직관적으로만 해석 하지 말고, 그래프의 한 점을 따로 떼서 그 점의 위치를 좌표로 인식하고 그래프의 선이 그런 의미있는 점들의 모임이라는 것으로 인식하면 더 좋겠습니다.

다음 영상을 통해 함께 살펴 봅시다.

★ 다음은 최강이네의 갓 태어난 강아지의 몸무게를 2일 간격으로 측정하여 태어난 지 x 일 후 강아지의 몸무게 y kg을 나타낸 그래프입니다.

(1) 태어난 지 8일 후 몸무게는 몇 kg인가요?

(2) 태어난 지 4일과 6일 사이와 8일과 10일 사이의 몸무게의 변화를 비교할 수 있을까요?

(1) 그래프를 살펴 보면 점 (8,0.35)가 있는데 태어난지 8일 후에는 0.35kg임을 알 수 있습니다.

(2) 태어난 지 4일과 6일 사이에는 몸무게가 0.2kg에서 0.25kg 으로 0.05kg 증가했고,

태어난 지 8일과 10일 사이에는 몸무게가 0.35kg에서 0.55kg으로 0.2kg 증가했음을 알 수 있고요.

이것으로 태어난 지 며칠 안지났을 때는 몸무게가 조금씩 증가하다가 점점 많이 증가하는 경향을 알 수 있는데요. 이로써 12일 째 되는 날에는 0.2kg보다 더 증가하기를 기대해 볼 수도 있겠지요?

★ 다음은 최강이가 공원에서 드론을 날렸을 때, 드론의 지면으로부터의 높이를 시간에 따라 나타낸 것입니다.

(1) 드론이 지면에 닿았다가 다시 떠오른 것은 몇 초 후인지 구하시오.

(2) 드론이 가장 높이 날았을 때의 높이와 그 시간을 구하시오.

(1) 그래프가 처음 말고 다시 높이가 0이 되는 점 (4,0)을 지나므로 다시 떠오른 것은 4초 후 입니다.

(2) 그래프가 높이가 가장 높은 점 (7,13)을 지나므로 가장 높이 날았을 때의 높이는 13m이고, 그 때의 시간은 출발한 지 7초 후가 될 때입니다.

★ 다음 그래프를 보고 내가 만드는 수학 이야기를 한 번 만들어 볼까요?

padlet으로 내가 만드는 수학 이야기를 친구들과 함께 나누어 봅시다.

이제 [생각 톡톡]의 문제를 해결해 볼까요?

교실 책상의 위치도 정확하게 표현 하려면 두 개의 기준이 필요하다는 걸 아시겠지요?

최강이가 칠판 앞에서 세번 째 줄에 있다고 이야기 한 것은

한 가지 기준으로만 이야기 한 셈이고 결국 수학이가 칠판 앞에서 세번 째 줄에 있는 여러 책상 중에 하나인 만세 책상에 가져다 놓게 되었습니다.

어떤 기준을 더 추가해서 이야기 해야 할까요?

칠판 앞에서 뒤로 가는 세로줄을 기준으로 이야기 했으니

왼쪽에서 오른쪽으로 가는 가로줄을 기준으로 더 추가해서 이야기 해야겠지요?

"수학아~~! 내 책상은 칠판 앞에서 세번째 줄이고 왼쪽에서 3번째 줄에 있어."

혹은 " 수학아~~! 내 책상은 2분단 왼쪽자리 칠판 앞에서 세번째 줄에 있어." 라고 말이죠.

사람의 동작뿐만 아니라 표정까지 그대로 담아내는 디지털 기술의 발달 덕분에 애니메이션 영화 속의 캐릭터는 더욱 사실감 있게 표현될 수 있습니다.

2009년 개봉한 영화 아바타는 3D애니메이션이었는데 제 못지않은 현실감으로 표현된 기법이 큰 반향을 일으켰습니다. 이것은 사람의 동작뿐만 아니라 표정까지 그대로 담아내는 ‘이모션 캡쳐’라는 디지털 기술의 발달에 힘입은 것입니다.

또, 좌표의 발견이 가져온 놀라운 변화 중 하나는 의료기술의 혁명입니다. 우리 몸의 좌표는 직접 보기 힘든 우리 몸에 대해 더 많은 정보를 제공해 줌으로써 새로운 질병치료의 시대를 열고 있습니다.

2차원과 3차원을 넘나드는 좌표의 다양한 활용에 대해서 알아볼까요?

지금까지 [학교가자 여름캠프 - 중학교1학년 수학] 수업에 참여해 주셔서 감사합니다. 항상 여러분을 응원하겠습니다.😉

내용구성 : 이현희 (새론중학교)