제대로 아는 게 힘!

최강이네 부모님께서는 공기청정기를 구입하는 게 나을지 대여하는게 나을지 고민에 빠졌습니다.

최근들어 공기도 별로 좋지 않고 코로나때문에 집에 있는 시간도 길어졌는데 앞으로 백신도 없는 신종 바이러스도 자주 등장할 거란 이야기에 거실에 공기청정기를 들이기로 했답니다. 그런데 구입을 할지 대여를 할지 계속 망설이고 계시는 겁니다.

구입을 하면 지금 당장은 목돈이 들겠지만 장기적으로 쓴다면 더 이득이 될 것 같고, 대여를 하면 지금 당장은 목돈은 안들어 좋지만 매달 대여료가 조금 비싼 것 같다고 하시면서요.

공기청정기를 몇 개월 이상 사용하면 구입하는 비용이 대여하는 비용보다 적게 들까요?

최강이는 자신이 배운 일차방정식을 이용하여 부모님의 고민을 해결해 드리려고 해요. 최강이와 함께 이 문제를 해결해 봅시다. 우리가 구하고자 하는 것. 모르는 것을 구하기 위한 여정! 지금 시작합니다.

[1] 궁금한 것을 꼭 구하기 위해 필요한 것?

방정식과 그 해의 의미

방정식을 살펴 보기 전에 등식이라는 것부터 개념을 짚고 지나가야겠네요.

등호(=)를 사용하여 두 수나 식이 같음을 나타낸 식을 등식이라고 합니다.

등호(=)를 중심으로 왼쪽 부분과 오른쪽 부분이 있을텐데요. 왼쪽부분을 좌변, 오른쪽 부분을 우변, 둘 다 통틀어 양변이라고 부르지요.

등식 3x=x+6 을 살펴보면

x의 값에 1,2,3,4 를 차례대로 대입해서 좌변 3x의 값과 우변 x+6의 값을 살펴보면 등식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 합니다.

이와 같이 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 x에 대한 방정식이라고 부릅니다.


한편, 등식 x+2x=3x 을 살펴보면 x에 어떠한 값을 대입하여도 항상 참이 되는데요.

이와 같이 모든 x의 값에 대하여 항상 참이 되는 등식을 항등식이라고 부릅니다.


그렇다면 우리가 궁금한 것을 꼭 구하기 위해 바로 방정식을 이용하려고 합니다.

그럼 방정식에 대해서 조금 더 살펴 볼까요?

방정식에서의 문자 x(물론, 다른 문자를 써도 좋아요.)를 그 방정식의 미지수라고 부릅니다. 미지수라는 의미를 살펴보면 아직은 알 수 없지만 언젠가는 꼭 구하고 말겠다는 의지를 담은 표현으로 느껴지나요?

그럼 방정식에서는 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하겠네요.

이 때, 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 또는 이라고 하고요. 또 방정식의 해를 구하는 것을 방정식을 푼다한답니다.

그래서 방정식의 목적은 해를 구하는 것, 바로 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 구하는 것이 되겠지요.

그럼, 우리가 궁금한 것을 꼭 구하기 위한 한 방법으로 그 궁금한 것을 미지수로 두고 방정식을 세워 방정식을 풀어보면 되겠네요.

등식의 성질

방정식을 풀기 위해서 꼭 필요한 등식의 성질! 한 번 살펴 볼까요?

수평인 접시저울의 양쪽 접시에 다음과 같은 활동을 해도 접시는 수평이 되는데요.

이것을 등식의 입장에서 생각해 본다면

등식의 양변에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나

0이 아닌 같은 수를 나누어도 등식은 성립한다는 걸 알 수 있습니다.

이 등식의 성질을 다음과 같이 이용해서 방정식을 풀 수 있습니다.

이항

한 편, 방정식 x+2=7 을 각각 대수 막대와 등식의 성질을 이용하여 푸는 과정이 있습니다.

이 때, ①은 등식 x+2=7에서 좌변의 +2를 부호를 바꾸어 우변에 이동한 것과 같습니다.

이와 같이, 등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 그 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 합니다.

이항은 방정식의 풀이의 단계를 줄여주는 역할을 한답니다.

[2] 내가 궁금한 건 꼭 구하고 말겠어!

궁금한 게 1개?

< 경우 1 > 친구가 케이크가 맛있다며 한 조각의 가격을 묻네요. 케이크 한 조각이 글쎄....

★ 구해야 하는 게 무엇인가요?

네~ 궁금한 것은 바로 케이크 한 조각의 가격이지요. 그것을 미지수 x(원)로 둡니다.

★ 한 잔에 2500원인 음료수 2잔과 가격이 같은 케이크 3조각을 사고 15800원을 지불하였다는 내용을 식으로 나타낼 수 있을까요?

2500×2 + x×3 = 15800 이네요.

즉, 5000 + 3x = 15800 이라는 식으로 나타낼 수 있습니다.

<경우 2>

★ 구해야 하는 게 무엇인가요?

네~ 궁금한 것은 바로 아이스링크에 간 친구들이지요? 그것을 미지수 x(명)로 둡니다.

★ 총 지불한 내용을 식으로 나타낼 수 있을까요?

23000×4 + 11000×x = 125000 이네요.

즉, 92000 + 11000x = 125000 이라는 식으로 나타낼 수 있습니다.

위의 두 경우에서 5000 + 3x = 15800 이라는 식과 92000 + 11000x = 125000 이라는 식을 얻었는데요.

이와 같이 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 식이

(일차식)=0 의 꼴로 나타날 때, 우리는 이 방정식을 미지수가 1개인 일차방정식 또는 간단히 일차방정식이라고 합니다.

우리가 이번 시간에 주목해야 할 것은 구하는 게 하나 일 때, 이 일차방정식을 이용해서 구할 수 있다는 겁니다.

그럼 다음 영상을 통해 위 두가지 경우에서 궁금한 것을 구하는 과정을 확인해 볼까요?

여러분들은 공책에 미리 풀어 보고 영상을 확인해 본다면 더 좋을 것 같습니다.

일차방정식의 풀이

어떤 일차방정식이라도 풀수 있을까요?

그럼요. 여러분들이라면 충분히 할 수 있습니다. 영상을 통해 어떤 일차방정식이라도 풀 수 있겠다는 자신감을 가져 보세요.

일차방정식의 풀이를 다양하게 연습하는 게 좋겠지요?

친구들에게 소개 시켜 주고 싶은 일차방정식의 문제들을 함께 나누어 봅시다.

Padlet으로 친구들에게 일차방정식 문제도 소개 해 보고 다른 친구들이 올려 둔 문제도 한 번 풀어 보세요~~~^^

이제 [생각톡톡]의 문제를 해결하여 부모님의 고민을 덜어드리도록 할까요?

(먼저 스스로 풀어보고 아래 답을 확인하도록 해요! )

★ 공기청정기의 사용 기간을 x개월 이라 하면, 공기청정기를 구입하여 사용할 때의 비용은 얼마일까요?

400000+15000x (원) 입니다.

★ 공기청정기의 사용 기간을 x개월 이라 하면, 공기청정기를 대여하여 사용할 때의 비용은 얼마일까요?

25000x (원)입니다.

★ (공기청정기를 구입하는 비용)이 (공기청정기를 대여하는 비용)과 같습니다. 방정식으로 나타내어 보세요.

400000+15000x = 25000x

★ 부모님께 어떻게 조언해 드리면 좋을까요?

부모님이 걱정하시는 부분은

구입을 하면 지금 당장은 목돈이 들겠지만 장기적으로 쓴다면 더 이득이 될 것 같고,

대여를 하면 지금 당장은 목돈은 안들어 좋지만 매달 대여료가 조금 비싼 것 같다고 생각하시는 거지요?

비용면에서 조금 더 아끼려면 구입을 해서 장기적으로 쓰면 될텐데 어느정도의 기간을 사용해야 좋을지

저 아들 최강이가 학교에서 배운 일차방정식을 이용해서 구해 보았습니다.

(공기청정기를 구입하는 비용) 과 (공기청정기를 대여하는 비용) 이 같아지는 사용기간은 40개월입니다.

40개월 때 두 비용이 같고 그 이후로는 구입할 때의 비용이 점점 작아지지요.

그럼 40개월보다 더 많이 쓴다면 구입하는 게 나을 수도 있습니다. 40개월, 3년 6개월인데 그 동안 고장 내지 않고 잘 쓸수 있도록 저도 도울게요~

방정식은 정확한 계산을 통해 우리 실생활에 많은 도움을 주고 있습니다.

날씨 예보 뿐 아니라, 각종 기상재해를 빠르게 계산해 우리의 안전과 재산을 보호 해 주기 때문이지요. 태풍이 언제 우리 지역에 영향을 미칠지, 지진이 얼마 후 우리가 사는 지층을 어떤 강도로 흔들지도 방정식을 통해 계산할 수 있어요.

우리의 안전을 위해 방정식은 지금도 수많은 계산들을 해내고 있다는 사실!

내용구성 : 이현희 (새론중학교)