자연수만으로 이 세상의 모든 현상들을 표현할 수 있나요?

너무나 쉽게 이 질문에 대한 답이 '아니오'라는 것을 알 수 있습니다.

그래서 자연수보다 더 넓은 수의 세상이 필요합니다. 주변의 현상들을 관찰하다 보면 서로 반대되는 상황이나 어떤 기준점을 중심으로 증가하거나 감소하는 상황을 만나게 됩니다. 외국을 여행하다 보면 나라마다 시간이 다릅니다. 물질의 종류에 따라 끓는점의 온도가 다릅니다. 금융시장에서는 환율이 오르기도 하고 내리기도 합니다. 우리는 이런 다양한 상황들을 쉽고 편리하게 부호가 다른 양수와 음수로 표현하는데요.

우리 최강이가 수학이의 설명을 잘 못알아 듣는 거 같지요?

빌린 돈이라는 수량에서 어떻게 0보다 작은 수가 있을 수 있지?

여러분도 이해가 잘 안된다고요?

어쩌면 이해가 쉽게 안되는 게 당연할 수도 있어요. 아주 오랜 기간동안 많은 사람들이 음수를 받아들이지 못했거든요. 수학자들 조차도요.

수학자들도 힘들 게 한 걸 우리보고 하라고? 라고 생각하는 학생들도 있겠지요? 하지만, 수학자들도 힘들었던 것을 이해하고 받아들였던 결정적인 계기는 발상의 전환이었습니다.

그 발상의 전환을 함께 해 보며 더 넓어진 수의 세상을 함께 여행해 볼까요?

0보다 작은 수는 엉터리수?

수의 탄생부터 음수를 받아들이기까지의 역사를 통해 음수를 한 번 이해해 봅시다.

실용을 강조했던 서양에서는 18,19세기에 들어와서야 음수를 인정하게 되는데, 만물의 음양 조화를 강조했던 동양에서는 이미 1세기 경에 음수, 양수의 기록이 있다는 것이 흥미롭네요. 동서양적 사고가 각기 옳고 그름을 따질 것이 아니라 서로를 받아들일 수 있는 열린 마음이 있을 때 더 큰 발전을 할 수 있는 것 같습니다.

여러분들도 발상의 전환 하셨나요? 아직도 힘든 학생들도 있다고요?

그럼, 우리 Padlet에 접속하여 의견을 공유해 볼까요?

잘 모르는 친구들도 친구들의 아이디어를 보고 드는 생각이나 느낌을 적어보면 좋을 것 같습니다.

[1] 음수 이해하기

최강이는 사회 시간에 영국 그리니치 천문대를 지나는 경도0도의 본초자오선과 날짜 변경선 등에 대해서 배웠습니다. 본초자오선을 기준으로 동쪽으로 경도 15도 이동할 때 마다 1시간씩 빨라집니다. 반대로 서쪽으로 경도 15도 이동할 때마다 1시간씩 늦어집니다.

런던시각이 낮 12시일 때 지도에 나와 있는 도시들의 시각을 구해 볼까요? 카이로, 서울, 부에노스아이레스의 시각은 어떻게 되나요?

구해 본 다음 바로 아래에서 답을 확인해 주세요.

그런데 대구에 사는 최강이는 갑자기 대구 시각이 낮 12시일 때 다른 도시들의 시각이 궁금해 졌습니다. 싱가포르와 카이로, 뉴욕의 시각은 어떻게 되지?

대구는 서울과 시간이 같으니까 하면서 시작했는데 서울이 +9, 싱가포르가 +7이 적혀 있으므로 싱가포르가 서울보다 2시간 더 느리다는 뜻이니 ..... 갑자기 머리가 아파오기 시작했습니다.

런던 시각이 낮 12시일 때, 지도에 나와 있는 카이로, 서울, 부에노스아이레스의 시각은?

런던 시각을 기준으로 카이로 +2, 서울 +9, 부에노스아이레스 -4 이므로 런던 12시를 기준으로 카이로 14시, 서울 21시, 부에노스아이레스 8시입니다.

맞습니다. 본초자오선이 지나는 영국의 런던에 살고 있는 사람은 왼쪽 그림을 보고 다른 나라의 시간대를 계산하기가 편리합니다. 그런데 최강이는 런던이 아닌 '대구'에 살고 있습니다. 다른 나라의 시간을 확인하는 것에 불편함을 느낀 최강이는 자신이 사용하기 쉬운 새로운 표를 만들어 보려고 합니다. 바로 수들을 바꿔 적어 보면 되겠지요?

그럼 대구와 시각이 같은 서울, 싱가포르, 카이로, 뉴욕에 있는 현재 수를 대신해서 어떤 수로 바꿔 적으면 될까요?

서울을 기준으로 시각을 계산할 테니 서울이 있는 곳에 0, 동쪽으로 갈 수록 시간이 빨라 + 로 두면 싱가포르는 -2, 카이로는 -7, 뉴욕은 -14로 바꿔 적으면 됩니다.

대구가 현재 낮 12시일 때, 싱가포르, 카이로, 뉴욕의 시각은 얼마인가요?

싱가포르는 10시, 카이로는 5시, 뉴욕은 전날 22시입니다.

이와 같이 서로 반대되는 성질을 가지는 수량을 어떤 기준을 중심으로 한 쪽은 '+', 다른쪽은 기호 '-'를 사용하여 나타낼 수 있습니다. 여기서 사용한 기호 '+'를 양의 부호, '-'를 음의 부호라고 합니다. 이때 양의 부호 +를 붙인 수를 양수라 하고, 음의 부호 -를 붙인 수를 음수라고 하며, 양수는 양의 부호 +를 생략하기도 합니다. 그리고 +3은 '양의 3", -2를 '음의 2'라고 읽습니다.

어떤 기준에서 서로 반대가 되는 성질을 갖는 양을 수로 나타낼 때, 양의 부호와 음의 부호를 사용합니다. 이익을 양의 부호로 두면 손해를 음의 부호로 두는 셈이죠. 상승과 하락, 증가와 감소, 해발과 해저, 수입과 지출, 전과 후, 영상과 영하 등도 양의 부호, 음의 부호를 써서 나타낼 수 있습니다.

이 때 주의 해야 할 점이 두 가지가 있는데요.

첫 번째로는 양의 부호와 음의 부호의 결정이 절대적이지 않다는 것입니다. 일반적으로 많이 사용하는 경우가 있지만 기준을 바꾸면 양의 부호와 음의 부호가 달라질 수도 있습니다. 예를 들어 수입과 지출에서 일반적으로는 수입을 양의 부호, 지출을 음의 부호로 사용해서 나타내지만, 지출을 기준으로 양의 부호로 둔다면 수입은 음의 부호가 되기도 한다는 뜻입니다.

두 번째로는 기준을 잡을 때 기준점이 되는 0의 의미를 정확하게 파악하고 있어야 된다는 점입니다. 이익을 양의 부호 손해를 음의 부호로 두었을 때 0의 의미는 바로 이익도 손해도 없다는 뜻이 되겠지요. 섭씨온도의 0도씨는 물이 어는 점을 뜻합니다.

지리 학자들은 해수면 아래를 음수로 표시하고, 해수면 위를 양수로 표시합니다. 예를 들어, 미네소타에서 가장 낮은 지점은 -17.3 m이고, 가장 높은 지점은 14.1 m입니다. 이 때 0 m는 무엇을 나타낼까요? 미네소타에서 가장 낮은 지점일까요?

미네소타에서 가장 낮은 지점은 -17.3 m라고 했습니다. 0 m는 해수면이라는 뜻입니다.

[2] 정수와 유리수로 수 확장하기

자연수에 양의 부호 +를 붙인 수 +1, +2, +3, ...을 양의 정수, 음의 부호 - 를 붙인 수 -1, -2, -3, ...을 음의 정수라고 합니다. 또, 양의 정수, 0, 음의 정수를 통틀어 정수라고 합니다. 양의 정수 +1, +2, +3, ...은 양의 부호 +를 생략하여 자연수 1, 2, 3, ...과 같이 나타내기도 합니다. 즉, 양의 정수는 자연수와 같고, 0은 양의 정수도 음의 정수도 아닙니다.

한편, 분자와 분모가 자연수인 분수에 양의 부호 +를 붙인 수를 양의 유리수 또는 양수라 하고, 음의 부호 - 를 붙인 수를 음의 유리수 또는 음수라고 합니다. 그리고 양의 유리수, 0, 음의 유리수를 통틀어 유리수라고 합니다.

[3] 정수와 유리수의 대소관계

절댓값의 개념

수직선 위에서 0에 대응하는 점과 어떤 수에 대응하는 점 사이의 거리를

그 수의 절댓값이라 하고, 기호 | |를 사용하여 나타낸다.

예) +3의 절댓값 : | +3 | = 3, -3의 절댓값 : | -3 | = 3


정수와 유리수의 대소 관계

수직선 위에서 수는 오른쪽으로 갈수록 커지고, 왼쪽으로 갈수록 작아진다.

① 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다.

즉, (음수) < 0 < (양수)

예) 0 < 5, -3 < 0, -2 < 1

② 양수끼리는 절댓값이 큰 수가 더 크다.

예) 4 < 6

③ 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 더 작다.

예) -5 < -1

[4] 정수와 유리수의 계산

정수와 유리수의 덧셈

정수와 유리수의 뺄셈

왜 빼는 수의 부호를 바꾸어 더하지?

유리수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는데 왜 그런지 한 번 살펴봐요.

양수를 빼는 것은 음수를 더하는 것 , 음수를 빼는 것은 양수를 더하는 것과 같다.

정수와 유리수의 곱셈

<덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙>

음수 곱하기 음수는 왜 양수가 될까?

수학자들조차도 18,19세기에 들어와서야 음수를 받아들이고

19세기 영국의 수학자 피콕은 '음수는 수량이 아니라 형식적인 기호로 이해해야한다,' 고 정의를 내렸는데요. 음수 곱하기 음수도 형식적으로 받아들이는 것 이외에 끊임없이 실질적인 모델을 연구하고 개발중이랍니다.

그 중 이 영상에서 소개하고 있는 것은 셈돌 모델로 설명하고 있는데요.

2X3 을 2를 3번 더한 것 즉, 2X3= 2+2+2이므로

2X(-3)을 2를 3번 덜어내는 것 즉, 2X(-3)=-2-2-2 로 해석합니다.

그러면 (-2)X(-3)를 -2를 3번 덜어내는 것으로 보고 그것을 2를 3번 더하는 것과 같으므로 +6이 된다고 설명하고있습니다.

정수와 유리수의 나눗셈

정수와 유리수의 분류

정수와 유리수의 대소관계

정수와 유리수의 계산

오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 확인해볼까요?

새로운 수에 대한 계산은 어느정도 연습이 필요한 것도 사실이지요.

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앞으로 칸아카데미를 종종 이용할 거니까 꼭 가입부탁해요!

내용구성 : 이현희 (새론중학교)