두 개의 삼각형이 똑같다는 것을 어떻게 알 수 있을까요? 포개어 보는 방법 말고는 없을까요?
고대 그리스 사람들은 직선과 원이 가장 기본적이고 완전한 도형이라고 생각했습니다. 이번 시간에는 직선과 원을 그릴 수 있는 두 가지 도구를 이용하여 두 삼각형이 똑같은지 알아보는 방법을 함께 탐구해 보려고 합니다. 시작해 볼까요?
왜 눈금없는 자와 컴퍼스일까?
★ 그림에서 직선 ①과 ④는 각각 오른쪽에 주어진 두 선 중
어떤 것과 직선으로 연결될지를 예측하고
자를 이용하여 직접 확인해봅시다.
①을 연장하면 ③과 직선으로 이어질 것 같아 보이지만 실제로 자로 그어보면 ①은 ②와 직선으로 연결됩니다. 마찬가지로 ④도 ⑥과 직선으로 이어질 것 같아 보이지만 실제로 ④를 연장하면 ⑤와 ⑥ 사이로 지나가므로 두 직선 모두와 만나지 않습니다.
★ 각 그림 안의 두 개의 빨간 선분 중 어느 선분의 길이가
더 길어 보이나요? 먼저 예측하고 나서 길이를 비교해 봅시다.
두 그림 모두 오른쪽에 있는 빨간 선이 더 길어 보입니다. 하지만 각각의 그림에 있는 두 선분의 길이를 컴퍼스를 이용하여 비교하면 길이가 서로 같음을 알 수 있습니다.
(생각이 터지는 수학교과서 '수학의 발견' 중에서)
주변에 보면 눈으로 보이는 것과 실제는 다른 경우가 많이 있는데 이것을 착시 현상이라고 합니다.
착시현상을 일으키는 그림을 보면 우리 눈으로 보이는 걸 다 믿어서는 안된다는 것도 느껴지는데요. 정확하게 하려면 도구의 도움이 당연히 필요하겠네요.
그럼 눈금없는 자와 컴퍼스를 사용하여 할 수 있는 일에 대해 생각해 볼까요?
눈금없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라고 합니다.
★ 작도를 할 때, 눈금없는 자로 할 수 있는 일은 무엇일까요?
1) 두 점 사이를 연결하여 선분을 그릴 때
2) 선분을 직선 또는 반직선으로 연장할 때
★ 작도를 할 때, 컴퍼스로 할 수 있는 일은 무엇일까요?
1) 원을 그릴 때
2) 주어진 선분의 길이를 재어 다른 직선 위로 옮길 때
쌍둥이 삼각형을 찾아라!
도형왕국 쌍둥이 삼각형 왕자 중 한명이 유괴되었다는데...
쌍둥이 삼각형을 찾을 수 있을까요?
1. 삼각형의 결정조건
다음의 각 경우에 삼각형이 하나로 정해진다.
(1) 세 변의 길이가 주어질 때
(2) 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 주어질 때
(3) 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때
2. 삼각형의 합동조건
두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다.
(1) 대응하는 세 변의 길이가 각각 같다. ( SSS 합동)
(2) 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같다. ( SAS 합동)
(3) 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다. ( ASA 합동)
삼각형의 작도 방법
눈금없는 자와 컴퍼스를 이용한
삼각형의 작도 방법
(1) 세 변의 길이가 주어진 삼각형
(2) 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 삼각형
(3) 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 주어진 삼각형
눈금없는 자와 컴퍼스로 다함께 작도를 해 볼까요?
눈으로만 보지말고 우리 친구들 직접 꼭 해 봅시다.
직접 해본 작도들 padlet에 함께 공유해볼까요?
각자가 한 걸 사진찍어 올려도 좋구요, 아래에 소개하는 알지오매스(AlgeoMath)에서 작업한 거 캡쳐한 사진도 좋습니다.
알지오매스를 이용하여 작도하기 도전!!!
직접 눈금없는 자와 컴퍼스로 그리는 것도 중요하지만 요즘 작도의 원리를 이용해서 직접 컴퓨터로 그려볼 수 있는 프로그램이 많이 있습니다.
겨울캠프를 맞아 컴퓨터로도 직접 해 보면 좋을 것 같아서 다양한 프로그램 중
그 중 알지오매스(AlgeoMath)를 소개합니다.
알지오매스(AlgeoMath)는 대수(Algebra)부터 기하(Geometry)까지의 모든 수학(Mathematics)을 다루는 소프트웨어라는 의미로 한국과학창의재단이 교육부, 17개 시도교육청과 함께 개발해서 무료로 보급하는 초.중.고 수학 실험탐구용 소프트웨어입니다. "도형의 작도", "함수나 방정식의 그래프 그리기", "블럭 코딩", "거북기하" 등을 할 수 있고, 특히 다른 사람이 많은 자료를 참고하고 공유할 수 있는 강력한 프로그램이므로 수학 개념들을 시각화하고 프로그래밍하는 데에 많은 도움을 줄 것입니다.
그럼 다음 영상들을 보고 참고해서 직접 실험해 볼까요?
삼각형의 작도 #1
세 변의 길이를 알 때
삼각형의 작도 #2
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때
삼각형의 작도 #3
한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때
자, 이제 알지오매스(AlgeoMath)로 가 봅시다.
다음 링크를 누르면 선생님이 만들어 놓은 알지오매스 문서로 이동합니다.
로그인(구글 아이디로 로그인 가능)하고 저장을 누르면
자동으로 선생님이 만들어 놓은 "중등.학교가자.com_겨울캠프 수학 1학년" 모둠에 게시가 됩니다.
학교, 학년 반 번호 이름 기재하는 거 잊지 마세요~~
혹시 게시된 글이나 다른 친구들의 답변이 궁금하다면 모둠 가입해도 좋습니다.
모둠 바로가기 https://me2.do/FBwlOp8U
가입방식이 비밀번호로 승인하게 되어 있으니 비밀번호 2021 누르면 됩니다.
선분의 수직이등분선을 작도하는 방법은 건축을 비롯한 다양한 곳에서 사용됩니다.
주어진 선분의 수직이등분선의 작도는 다음과 같은 방법으로 하는데요. 이 작도 방법에 대한 다음 물음을 답하며 정리해 볼까요?
지난 시간에 칸아카데미에 가입하고 할당된 과제를 해봤지요?
다음 링크를 클릭하여 '과제'에서 새로운 나의 과제를 확인해 보세요. 할당된 과제를 해결하면서 오늘 배운 내용을 확인해 보도록 해요. 오늘도 아자!!!
여러 과제가 많을 때에는 차례대로 천천히 해 나가면 되겠습니다.
미국에서 만든 사이트를 번역해 놓은 거라 우리 교육과정이랑 다소 안맞을 때가 있는데요. 삼각형의 합동을 다룰 때 우리 교육과정에서는 거의 못들어본 강체변환이라는 표현이 나옵니다.
*** 강체변환 : 조금 쉽게 설명하면 크기나 모양이 바뀌지 않고 회전, 대칭, 평행이동 등의 변환의 합성을 의미합니다. 예를 들어 우리가 두 도형이 합동인 걸 이야기할 때, 한 도형을 돌리거나 뒤집거나 이동시켜도 포개어지면 합동이라고 이야기 하지요. 그 때 돌리거나 뒤집거나 이동시킨다는 표현이 강제변환에 해당된다고 보면 됩니다. 참고하세요~
왜 삼각형일까?
안전한 건물을 짓기 위해 다양하게 이용되는
삼각형 구조
삼각형의 안정성을 이용해 삼각형 구조로 지은 에펠탑.
삼각형 구조를 건축에서는 트러스 구조라고 부르는데요. 그런데 에펠탑뿐 아니라 퐁피두센터 등 안정성을 가장 중요시하는 대부분의 건물과 다리에는 트러스 구조가 쓰이고 있습니다.
또한 21세기 레오나르도 다빈치라 불리는 리차드 벅민스터 풀러는 삼각형을 연결해 구 모양의 지오데식 돔을 만들어 냈고, 그것 역시 현대 건축물들에 많이 쓰이고 있습니다.
뿐만 아니라 삼각형 구조를 연결하면 마름모 형태의 다이아그리드 구조가 나오는데, 이것 역시 현대 건축물에서 빼놓을 수 없는 기법. 서울 강남구에 위치한 어반하이브를 통해 다이아그리드 공법에서 삼각형이 어떻게 이용되고 있는지 알아봅니다. - EBS Math 중에서
고집스런 연구의 위대한 결과, 작도
간단한 도구, 고집스런 원칙 "작도"
인류 역사에 위대한 업적을 남기다.
눈금없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그려내는 ‘작도’가 인류 역사에 남긴 업적은 무엇일까요?
그리스의 작도법은 과연 어디에서 유래했으며 현대에 이르러서는 어디까지 활용되고 있을까요?
수학의 역사를 통해 되짚어 보면서 도형에 대해 이해하여 봅시다.
♥ 다음 시간에 또 만나요. ♥
내용구성 : 이현희 (새론중)