중등.학교가자 - 3. 도형속에서의 약속 찾기

중등.학교가자

우리 조상들도 다각형의 원리를 정확하게 알고 있었다고요?!

경복궁 담장의 아름다움에 수학의 원리가 숨어있다죠?

쪽매맞춤이라고도 불리는 테셀레이션.

동일한 모양을 이용해 평면이나 공간을 빈틈이나 겹쳐지는 부분 없이 채우는 것을 바로 ‘테셀레이션’이라고 합니다.

기원전 4세기의 이슬람 문화 속 벽걸이 융단에서부터 벽이나 바닥을 꾸미는 타일 및 현대의 포장지에 이르기까지 인류의 역사와 함께 있어왔던 테셀레이션.

우리 조상들이 꾸민 테셀레이션과 같은 도형속에서의 약속들을 찾아 봅시다.

다각형에서 대각선의 수, 내각의 크기의 합, 외각의 크기의 합

대각선의 수

[EBSMath 대각선은 몇 개일까요?]이번에 수집할 카드는? 대각선과 관련된 카드입니다. 대각선이 무엇인지는 아시나요? 이번 미션은 다각형에서 대각선을 몇 개나 그을 수 있는지 알아내는 것! 이번 미션도 잘 수행해서 매쓰마스터가 되어보아요~

내각의 크기의 합

[EBSMath n각형 내각의 크기의 합]n각형의 내각의 크기의 합은 180°×(n-2)로 구할 수 있다. 그런데 왜 이런 공식이 나온 것일까? 단순히 공식을 암기하여 답을 구한다면 다각형의 내각의 크기에 관한 원리를 이해할 수 없다. 그럼 지금부터 n각형의 내각의 크기의 합을 구하는 과정에 대해 한번 자세히 알아 볼까?

외각의 크기의 합

[EBSMath 다각형의 외각의 크기의 합]다각형의 각 꼭짓점에서 다각형의 내부에 만들어지는 각을 ‘내각’이라고 하고, 변의 연장선과 다각형의 변에 의해 만들어지는 각을 ‘외각’이라고 합니다. 삼각형의 내각의 크기의 합은 180도, 사각형의 내각의 크기의 합은 360도, 오각형의 내각의 크기의 합은 540도, …. 이처럼 다각형에서 변의 개수가 늘어날수록 내각의 크기의 합은 점점 커지게 되는데요. 그럼 외각의 크기의 합은 어떨까요? 다각형의 외각의 아주 특별한 성질은 무엇이고, 이 성질은 어떻게 설명할 수 있는지 알아봅시다.

영상을 통해 다각형에서 대각선의 수, 내각의 크기의 합, 외각의 크기의 합을 어떻게 구하는지 살펴보았나요?

그렇다면 다음 문제들을 한 번 풀어볼까요?

아래 활동지의 빈칸에 답 작성, 선긋기 한 후 'finish!!'버튼을 누르세요. 왼쪽의 'check my answers'를 눌러 채점하세요.

틀린 답은 분홍색으로 표시됩니다. 마우스 커서를 올리면 옳은 답이 나온답니다.

끝없는 신비 π, 원주율에 대하여

원주율. 지름에 대한 원의 둘레의 비율.

고대 때부터 사람들은 원에 대해 관심을 많이 가지고 있었고, 원의 둘레가 원의 지름에 대해 일정한 비율이 있다는 것을 알고 그 값을 정확히 구하려는 노력을 계속했었는데요. 고대 바빌로니아와 성경에는 원주율을 약 3으로 사용하였고, 고대 이집트에서는 원주율을 3.1604...로 사용하였습니다.

우리도 초등학교 때 (원주율) = (원의 둘레) ÷ (지름의 길이) 로 계산하며 그 값이 소수점 이하의 수가 순환하지 않고 무한히 반복되기 때문에 근삿값으로 3.14로 사용했었지요.

그 값이 정확하지는 않기 때문에 이제 부터는 새로운 기호 π를 사용한답니다. 끝없는 신비 π, 원주율에 대하여 조금 더 살펴 볼까요?

고대 때부터 사람들은 원에 대한 관심이 많았고 원의 둘레가 지름의 크기에 일정한 비율을 가지고 있다는 걸 알았으며 그 값을 대략 3(지역마다 조금씩 다

원주율을 최초로 논리적으로 계산하다

이 원주율을 논리적으로 계산한 최초의 사람은 고대 그리스의 수학자 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~212)로 알려져 있습니다.

그는 원의 안과 밖에 접하는 정96각형의 둘레를 계산하여 원주율이 223/71 과 22/7 사이에 있다는 것을 발견하였습니다.

480년 경에 중국의 학자 조충지(祖沖之 : 429~500)는 원주율 355/113으로 나타내었습니다.

아르키메데스와 조충지가 발견한 원주율을 비교해 볼까요?

계산기로 직접 계산해 봅시다.

컴퓨터 아래 메뉴바의 검색을 눌러 계산기 앱을 찾아 공학용으로 눌러 보면

π 의 값을 확인할 수 있습니다.

선생님 컴퓨터 계산기 앱에는 소수점 아래 31자리까지 나오네요.

여러분들은 어때요? 반드시 직접 해 봅시다.

그럼, 아르키메데스와 조충지가 발견한 원주율을 직접 계산해 보고 실제로 소수점 아래 몇 째 자리까지 같은 지 비교해 봅시다.

★ 아르키메데스가 사용한 원주율의 값은 계산기로 구한 값과 소수점 아래 몇 째 자리까지 같은가요?

223/71 과 22/7 사이에 있다고 하였는데 계산기로 계산하면 각 각 3.1408... 과 3.1428...로 나와서 소수점 아래 둘 째 자리까지 같습니다.

★ 조충지가 사용한 원주율의 값은 계산기로 구한 값과 소수점 아래 몇 째 자리까지 같은가요?

355/113 을 계산기로 계산하면 3.1415929...로 나오는데 소수점 아래 여섯 째 자리까지 같습니다.

원주율에 내생일이 있다고?

원주율의 값을 정확히 구하려는 노력은 그 이후로도 계속 되었습니다.

1600년대 독일의 루돌프 판 퀼런은 소수점 아래 35자리까지 계산하였습니다. 전자계산기가 발명되었을 때 수학자들은 가장 먼저 원주율의 값을 구했지요. 1949년 전자계산기 에니악(ENIAC)으로 원주율을 소수점 아래 2037번째 자리까지 구하였고, 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 사용하여 소수점 아래 1조 2411억 자리까지 구하였습니다. 2010년 일본의 한 회사원은 소수점 아래 5조 자리까지 컴퓨터를 사용하여 약 90일에 걸쳐 계산하였습니다.

그리고 가장 최근에는 2019년 3월 14일 엠마 하루카 이와오(Emma Haruka Iwao)라는 구글 개발자가 구글 클라우드 서비스를 사용해 파이(π, 원주율) 계산 세계 신기록을 소수점 아래 31조 자리까지로 갱신했다고 합니다.

이처럼 원주율은 한없이 계속되는 소수임이 알려져 있는데 반복되지 않는 수로서 얼마나 다양한 숫자들이 배열 되어 있을까요? 그래서 함께 재밌는 실험을 해 볼까 합니다. 바로 원주율에서 내 생일 찾기!!

오른쪽 그림은 원주율을 소수점 아래 10,000자리까지 배열해 놓은 것입니다. 그 속에서 내 생일을 찾아 볼까요?