안녕하세요.

중등.학교가자.com 겨울캠프에 오신 걸 환영합니다.

코로나-19로 인해 많이 힘들고 어려운 시기를 보내고 있지만

여름방학에 이어 겨울방학에도

함께 나누어 더 즐겁고 신나는 수학공부 만들어 가 봐요.

시작해 볼까요?

예술 작품에서는 세상을 어떻게 표현할까?

점으로 세상을 표현한 화가, 조르주 피에르 쇠라

수 많은 점들이 모여 하나의 형태가 되고,


점으로 이루어진 형태들이 모여 그림이 완성됩니다.


그리고 작품 속에서 점들은 아련한 빛으로 표현되고 있습니다.


프랑스 화가이자 신인상주의 화가인 쇠라는 점묘법을 처음 사용한 화가로 유명합니다. 그런데 쇠라는 왜 점으로 그림을 그리기 시작했을까요?


도형의 기본요소인 점이 예술작품 속에선 어떻게 표현되고 있을까요?

선과 면으로 세상을 표현한 화가, 몬드리안과 바자렐리

도시, 건물, 나무... 세상의 모든 것을 단지 선으로 단순화시키고 그 속에서 자연 그대로의 자유로움을 찾으려는 한 화가가 있었습니다.

그 화가에게 세상은 선이었지요. 바로 모든 대상을 원색의 수평선과 수직선으로 단순화하여 구성하는 순수 추상미술을 추구한 네덜란드 화가, 피에트 몬드리안입니다.

20세기 중엽 추상 미술의 새로운 흐름이 등장합니다. 화려한 색채, 반복되는 도형이 주는 입체감, 올록볼록 화면의 크기가 주는 착시, 어떤 형태의 입체도형을 반복적으로 사용해 시각적 착각을 일으켜 화면이 움직이는 것처럼 보이게 하는 미술 장르. 바로 옵아트입니다.

옵아트의 주 창시자이자 헝가리 출신 프랑스 추상화가 빅토르 바자렐리. 그의 대표작 직녀성은 사각형으로 이루어진 거대한 장기판 같습니다. 각각의 사각형은 그 크기를 조절해 수축과 팽창의 착각을 불러 일으킵니다. 가장 큰 사각형은 가장 작은 사각형의 10배가 넘습니다. 단순해 보이지만 아주 정교하게 계산돼 그려진 작품이지요. 평면에서 3차원적 입체를 잘 표현해 냈다고 볼 수 있습니다.

이렇듯 많은 화가들이 점, 선, 면을 이용해 세상을 표현하고자 끊임없이 노력했다는 것을 알 수 있습니다.

세상의 구성요소 점, 선, 면

세상을 구성하는, 도형을 구성하는 기본 요소인 점, 선, 면의 여러가지 성질과 이들의 위치관계를 파악하는 것은 실생활에서의 활용뿐만 아니라 수학의 다른 영역을 학습하는데 필요한 부분이랍니다. 구체적으로 살펴볼까요?

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직선, 반직선, 선분과 두 점 사이의 거리

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각과 맞꼭지각

  • 각 AOB : 한 점 O에서 시작하는 두 반직선 OA, OB로 이루어진 도형

[기호] ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a

  • 각의 크기가 왜 360도일까?

  • 맞꼭지각의 성질

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수직과 수선, 점과 직선사이의 거리

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에펠탑의 비밀로 살펴보는 평행선의 성질

에펠탑에는 18,000개의 철골과 250만개의 리벳이 사용됐고, 더 놀라운 것은 300명의 기술자가 이 높은 탑을 단지 25개월 만에 완성했다는 사실입니다. 과연 그 비법은 무엇이었을까요?

높이 300m가 넘는 구조물이 쓰러지지 않고 똑바로 서 있게 만들기 위해서는 단단한 받침대가 꼭 필요합니다.

그리고 또 하나.

각 단마다 평행이 되게 하는 것이 중요합니다.

그럼 에펠탑의 각 단이 평행하게 잘 지어졌다는 것을 알 수 있는 방법은 없을까요? 에펠탑의 평행의 비밀을 통해 평행선에서의 동위각과 엇각의 성질을 알아봅니다.

레이저의 활용으로 살펴보는 점, 선, 면의 위치관계

우리 몸의 불필요한 점을 빼고 싶을 때 레이저인 선과 점을 만나게 하면 쉽게 제거가 가능합니다. 점과 직선은 그 위에 있거나 혹은 그 위에 있지 않은 위치 관계를 가집니다.

레이저는 의학분야에서도 쓰이지만 우리가 흔히 물건을 사고 파는 마트에서도 역할을 톡톡히 하고 있지요. 바로 레이저와 바코드와의 만남입니다. 이 때의 바코드는 우리 몸의 점과는 달리 선으로 이루어져 있는데 바로 이 선과 레이저가 그 속에 담긴 물건의 정보를 읽어내게 됩니다.

공간에서 선과 선의 만남은 독특한 경우를 만들어 내기도 하는데 그건 바로 '꼬인 위치'입니다. 꼬인 위치는 평행하지도 않고 만나지도 않기 때문에 평면에서는 볼 수 없는 특별한 경우입니다. 과일의 표면에 레이저로 원하는 글씨를 새길 수도 있는데 이를 통해 선과 면의 위치관계도 엿볼 수 있습니다.

레이저는 우리 생활에 많은 변화를 가져왔지만 지금도 계속 새로운 기술이 연구되고 있습니다.

중학생이 되어 도형 공부를 하는데 갑자기 많은 용어와 성질이 등장해서 당황스러웠나요?

중학교에서는 초등학교에 비해 도형의 용어나 성질들을 정확하게 알고, 논리적인 전개에 따라 문제를 해결하는 것을 중요시하고 있습니다.

도형이나 공간의 성질을 다루는 학문, 기하학이 어떻게 생겨났고 전해졌는지를 알아 보면 왜 그런지 조금은 알 수 있을 것 같은데, 함께 살펴 보면서 도형의 성질에 조금 더 논리적으로 접근해 볼까요?


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<질문 첫번째>

왼쪽 사진을 보고 최강이는 두 평면이 한 점에서 만난다고 주장했습니다. 이 의견에 대한 여러분의 생각은 어떠세요?

<질문 두번째>

왼쪽 그림에서 두 비행기가 서로 충돌하지 않은 이유가 무엇일까요?

(생각이 터지는 수학교과서 '수학의 발견' 중에서)

두 가지 질문에 대한 여러분의 생각을 padlet을 통해 함께 나누어 볼까요?

오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 확인해볼까요?

칸아카데미를 클릭하여 가입을 하면 '중등.학교가자-겨울캠프:중등 1학년' 클래스에 등록이 됩니다. 과제를 클릭하여 나의 과제를 확인하고 해결해보세요.

과제 이외에도 다양한 수준의 문제들을 제공하고 있으니 평소에 공부할 때도 이용하면 좋을 것 같습니다.

앞으로 칸아카데미를 종종 이용할 거니까 꼭 가입부탁해요!

칸 아카데미에 어떻게 가입하냐고요? 구글 아이디로 가입하면 됩니다. 가입 후 클래스코드 WSTJAF79를 입력하여 대기해 주세요. 선생님이 승인을 해 주면 제시한 과제로 공부를 시작할 수 있습니다.

틈틈이 승인을 할텐데 혹시 승인이 바로 안되더라도 조금만 기다려 주세요! 시상을 위해 학생이름에 인적사항(학교 학년 반 번호 이름) 함께 남겨 주는 거 잊지 마시구요~

차원 이야기

평면나라 이야기로 이해하는 차원

교과서에 등장하지는 않지만 점, 선, 면이라고 하면 차원과도 밀접한 관련이 있습니다. 점은 0차원, 선은 1차원, 면은 2차원....

조금 어려울 수도 있지만 우리가 사는 공간에 대한 이야기, 우리가 인식하는 공간에 대한 이야기입니다. 평면나라 이야기를 통해 차원에 대해 조금이나마 더 이해해 보는 시간을 가져 볼까요?

평면나라 이야기를 본 소감을 함께 나눠보면 어떨까요? 위 padlet에서 만나요.

영화 '인터스텔라'로 엿보는

더 높은 차원으로의 상상

아는만큼 보인다고 했나요?

과학적 고증을 제대로 거쳤다는 영화 '인터스텔라'를 통해 더 높은 차원의 모습을 한 번 엿볼까요?

물론, 영화나 개인미디어제작자의 의견이 정답이 아닐 수도 있습니다.

하지만, 여러분들의 더 높은 차원으로의 상상을 자극하는 것만으로도 충분히 가치있다고 생각합니다. 또 아나요? 여러분들 중 더 높은 차원을 제대로 이해하고 설명할 수 있는 사람이 나타날 수도 있지 않을까요?

보이지 않는 것에 대한 상상과 이해. 그래서 수학이 정말 멋진 학문일지도 모르겠습니다.

♥ 다음 시간에 또 만나요. ♥

내용구성 : 이현희 (새론중)

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